지금까지 적분은 단일 곡선과 고정된 x축 기준면 사이의 공간을 측정하는 도구였습니다. 하지만 바닥 자체가 움직이는 상황이라면 어떨까요? 이 수업에서는 축을 넘어선 개념을 다루며, 두 개의 독립적인 함수 경계 $f(x)$와 $g(x)$ 사이에 둘러싸인 영역의 면적을 계산하는 방법을 배웁니다.
차이의 기하학
$x = a$에서 $x = b$ 사이에 $y = f(x)$와 $y = g(x)$로 둘러싸인 영역 $S$의 면적 $A$를 구하기 위해, 미적분학의 기초를 형성한 리만 합의 논리를 사용합니다.
리만 확장
우리는 영역을 $n$개의 수직 스트립으로 나눕니다. 만약 $x_i^*$가 $i$번째 구간의 샘플 점이라면, 근사 사각형의 높이는 단순히 $f(x_i^*)$가 아니라, 차이 상단 곡선과 하단 곡선의 높이 사이의 차이입니다:
$$h = f(x_i^*) - g(x_i^*)$$
합산에서 적분으로
As we increase the number of strips to infinity ($n \to \infty$), the sum of these rectangular areas converges to the definite integral:
核心公式:
$$A = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} [f(x_i^*) - g(x_i^*)] \Delta x = \int_a^b [f(x) - g(x)] dx$$
where $\Delta x = \frac{b-a}{n}$.
절대 차이 법칙
만약 곡선들이 교차한다면 어떻게 될까요? 실제로 $g$가 $f$보다 위에 있을 때 $f-g$를 단순히 적분하면 음수 결과가 나옵니다. 항상 면적의 크기 크기를 계산할 수 있도록 절대값을 사용합니다:
$$A = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx$$
🎯 면적 공식 정리
만약 $f$와 $g$가 연속 함수이고, 모든 $x \in [a, b]$에 대해 $f(x) \ge g(x)$가 성립한다면, $y = f(x)$, $y = g(x)$, $x = a$, $x = b$로 둘러싸인 영역의 면적 $A$는 다음과 같습니다:
$$A = \int_a^b [f(x) - g(x)] dx$$
예제 1: 지수함수 대 선형함수
$x = 0$에서 $x = 1$ 사이에서 $y = e^x$ 아래쪽에 $y = x$ 위쪽에 둘러싸인 영역의 면적을 찾아보세요.
$$A = \int_0^1 (e^x - x) dx = [e^x - \frac{1}{2}x^2]_0^1 = (e - \frac{1}{2}) - (e^0 - 0) = e - 1.5 \approx 1.218$$